Více než 2000 lety řecký matematik Euklides přišel s seznam pět postulátů, na nichž si myslel, že geometrie by měla být postavena. Jeden z nich, pátý, byl ekvivalentní prohlášení, které všichni známe: že úhly v trojúhelníku přidávají až 180 stupňů. Nicméně, tento postulát se nezdálo tak zřejmé, jako ostatní čtyři na Euclid ‚ s list, tak matematici se pokoušeli odvodit, že z nich: ukázat, že geometrie poslechl první čtyři postuláty by nutně poslouchat pátý., Jejich boj pokračoval po staletí, ale nakonec selhali. Našli příklady geometrií, které neposlouchají pátý postulát.

Sférická geometrie

Sférická geometrie je geometrie na kouli. V sférické geometrii se euklidovská myšlenka čáry stává velkým kruhem, to znamená kruh s maximálním poloměrem, který se rozprostírá přímo kolem nejtlustší části koule. Již není pravda, že součet úhlů trojúhelníku je vždy 180 stupňů., Velmi malé trojúhelníky budou mít úhly, jejich součet činí jen o málo více než 180 stupňů (protože, z pohledu velmi malý trojúhelník, povrch koule, je téměř ploché). Větší trojúhelníky budou mít úhly sčítající se na mnohem více než 180 stupňů.

jedna zábavná věc o délce času, který trvalo objevit sférickou geometrii, je to, že je to geometrie, která drží na povrchu Země!, Ale nikdy jsme si moc všímat, protože my jsme tak malí v porovnání s velikostí Země, že když nakreslíme trojúhelník na zemi, a měřit úhly, částka, o kterou součet úhlů přesahuje 180 stupňů, je tak malé, že je nemůžeme detekovat.

koule má to, co matematici nazývají pozitivním zakřivením, a to dává intuitivní smysl., Ale je tu další geometrie, která bere věci v jiném směru:

Hyperbolické geometrie

Hyperbolické geometrie není tak snadné představit jako sférické geometrie, protože to nemůže být modelovány ve třech-dimenzionální Euklidovský prostor, bez zkreslení. Jeden způsob vizualizace se nazývá Poincaré disk.

vezměte kulatý disk, jako ten ohraničený modrým kruhem na obrázku vpravo, a představte si mravence, který v něm žije., V euklidovské geometrii je nejkratší cesta mezi dvěma body uvnitř tohoto disku podél přímky. V hyperbolické geometrii vzdálenosti se měří odlišně, takže nejkratší cesta je již po Euklidovské přímce ale po oblouku kružnice, který splňuje hranici disk v pravém úhlu, jako je to na obrázku červeně na obrázku. Hyperbolický mravenec by zažil přímku jako objížďku-raději se pohybuje podél oblouku takového kruhu.

hyperbolický trojúhelník, jehož strany jsou oblouky těchto půlkruhů, má úhly, které přidávají až méně než 180 stupňů., Všechny černobílé tvary na obrázku vlevo jsou hyperbolické trojúhelníky.

Jedním z důsledků této nové hyperbolická metrika je, že hranice kruhu disku je nekonečně daleko od pohledu z hyperbolické ant. Je to proto, že metrika zkresluje vzdálenosti vzhledem k běžnému Euklidovskému. Cesty, které vypadají stejně dlouho v euklidovské metrice, jsou delší v hyperbolické metrice, čím blíže jsou k hraničnímu kruhu., Níže uvedený obrázek ukazuje obklad hyperbolické roviny pravidelnými heptagony. Kvůli zkreslené metrice jsou heptagony stejné velikosti V hyperbolické metrice. A jak vidíme, mravenec by musel procházet nekonečně mnoho z nich, aby se dostal do hraničního kruhu-je nekonečně daleko!

Na rozdíl od koule s pozitivním zakřivením je hyperbolická rovina negativně zakřivená., Velmi malé regiony mají stejný typ zakřivení jako sedla: podél jednoho směru, vypadají jako vrchol horského hřebene, a po další směr vypadají jako dno údolí.

hyperbolická geometrie může vypadat jako fantazijní matematický konstrukt, ale má použití v reálném životě. Když Einstein vyvinul svou speciální teorii relativity v roce 1905 zjistil, že symetrie hyperbolické geometrie byly přesně to, co potřeboval formulovat teorii., Dnes matematici věří, že hyperbolická geometrie může pomoci pochopit velké sítě, jako je Facebook nebo Internet.

můžete si přečíst více o hyperbolické geometrii v neeuklidovské geometrii a indrových perlech.