Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky,

sekce 5-3: Dot Product

někdy se dot produkt nazývá skalární produkt. Produkt dot je také příkladem vnitřního produktu, a tak příležitostně můžete slyšet, že se nazývá vnitřní produkt.

zde jsou některé vlastnosti produktu dot.

vlastnosti

důkazy o těchto vlastnostech jsou většinou „výpočetní“ důkazy, takže jich uděláme jen pár a zbytek necháme na vás, abyste to dokázali.,

Důkaz o \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

Důkaz : je-Li \(\vec v\centerdot \vec v = 0\), pak \(\vec v = \vec, 0\)

potom můžeme mít následující věta.

Větu

Důkaz

formule z této věty je často používán pro výpočet skalárního součinu ale místo toho, aby najít úhel mezi dvěma vektory., Všimněte si také, že zatímco náčrt dvou vektorů v důkazu je pro dvourozměrné vektory věta platí pro vektory jakékoli dimenze (pokud mají samozřejmě stejný rozměr).

podívejme se na příklad tohoto.

produkt dot nám dává velmi pěknou metodu pro určení, zda jsou dva vektory kolmé a poskytne další metodu pro určení, kdy jsou dva vektory rovnoběžné. Všimněte si také, že často budeme používat termín ortogonální místo kolmice.

Nyní, pokud jsou dva vektory ortogonální, víme, že úhel mezi nimi je 90 stupňů., Z \(\eqref{eq:eq2}\) to nám říká, že pokud dva vektory jsou ortogonální, pak

\

Stejně tak, pokud dva vektory jsou rovnoběžné, potom úhel mezi nimi je buď 0 stupňů (ukazuje ve stejném směru) nebo 180 ° (směřující v opačném směru). Opět pomocí \(\eqref{eq: eq2}\) by to znamenalo, že jeden z následujících by musel být pravdivý.

\

existuje několik pěkných aplikací produktu dot, na které bychom se měli podívat.,

Projekce

k Dispozici je pěkná vzorec pro nalezení projekce \(\vec b\) na \(\vec a\). Zde je,

Všimněte si, že musíme být také velmi opatrní s notací zde. Projekce \(\vec a\) na \ (\vec b\)je dána

\

zde je příklad.

pro účely srovnání to uděláme i opačně.

jak můžeme vidět z předchozích dvou příkladů, dvě projekce jsou různé, takže buďte opatrní.,

Směr Cosines

Tato aplikace dot výrobek vyžaduje, že máme být v trojrozměrný prostor, na rozdíl od všech ostatních aplikací, podívali jsme se na tento bod.

zde je náčrt vektoru a úhlů směru.

vzorce pro směr cosines jsou,

Pojďme si ověřit, že první skalární součin výše. Zbytek necháme na vás, abyste to ověřili.

\

zde je několik pěkných faktů o směru kosinů.

pojďme udělat rychlý příklad zahrnující směrové kosiny.