možná Si vzpomínáte z algebry a kalkulu, že funkce může být one-to-one a do, a tyto vlastnosti jsou závislá na tom, zda je nebo není funkce je regulární. Nyní přezkoumáváme tyto důležité myšlenky. V pokročilé matematice, slovo injective se často používá místo one-to-one,a surjective se používá místo na. Zde jsou přesné definice:

níže je vizuální popis definice 12.4., V podstatě, injektivní, znamená to, že nerovné prvky vždy pošlou k nerovnému prvky v B. Surjektivní znamená, že každý prvek z B má šipku, která ukazuje na to, že je, to se rovná f(a) pro nějaké a v oblasti f.

k Dispozici jsou čtyři možné injektivní/surjektivní kombinace, které funkce mohou mít. Toto je znázorněno níže pro čtyři funkce \(a \ rightarrow B\). Funkce v prvním sloupci jsou injektivní, ty ve druhém sloupci nejsou injektivní. Funkce v prvním řádku jsou surjektivní, ty ve druhém řádku nejsou.,

bereme na vědomí, mimochodem, že, podle definice, je funkce surjektivní, pokud a pouze pokud je její obor hodnot se rovná jeho rozsah.

jak zobrazit funkci \ (f: a \ rightarrow B\) je injective:

z těchto dvou přístupů je kontraproduktivní často nejjednodušší použití, zejména pokud je f definován algebraickým vzorcem. Je to proto, že kontrapozitivní přístup začíná rovnicí \(f (A) = f(A‘)\) a pokračuje k rovnici \(A = a’\). V algebře, jak víte, je obvykle snazší pracovat s rovnicemi než s nerovnostmi.,

jak zobrazit funkci \ (f: a \ rightarrow B\) je surjektivní:

Předpokládejme \(b \v B\).

cvičení \(\PageIndex{1}\)

Nechte \(a= \{1,2,3,4\}\) a \(B = \{a,b,c\}\). Uveďte příklad funkce \(f: a \ rightarrow B\), která není ani injektivní, ani surjektivní.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.